Hilbert's nineteenth problem

           ปัญหาของฮิลเบิร์ตคือปัญหาทางคณิตศาสตร์ 23 ข้อ ที่ตีพิมพื์ทโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน
เดวิด ฮิลเบิร์ต ในปี 1900 ปัญหาทั้งหมดยังไม่ได้รับการแก้ไขในเวลนั้น และบางข้อก็พิสูจน์แล้วว่่ามีอิทธิอย่างมากต่อคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 20 ฮิลเบิร์ตนำเสนอปัญหา 10 ข้อ ( 1,2,6,7,8,13,16,19,21,และ 22)ในการประชุมที่ปารีส ของ  International Congress of Mathematicians  ซึ่งกล่าวสุทรพจน์เมื่อวันที่ 8 สิงหาคม รายชื่อปัญหาทั้งหมด 23 ข้อได้รับการตีพิมพ์ในภายหลัง โดยแปลเป็นภาษาอังกษในปี 1902 

          ปัญหาของฮิลเบิรตีหัวข้อและความแม่นยำที่หลากหลาย บางปัญหา เชน ปัญหาที่ 3 ซึ่งเป็นปัญหาแรกที่ได้รับการแก้ไข หรีอปัญหาที่ 8 (สมมติฐานของรีมันน์ป ซึ่งยังคงไม่ได้รับการแก้ไข ไดรับการนำเสนออย่างแม่นยำเพียงพอที่จะให้คำตอบยืนยันหรือปฏิเสธที่ชัดเจน สำหรับปัญหาอื่นๆ เช่น ปัญหาที่ 5 ผุ้เชี่ยวชาญมักจะตกลงกันในการตีความแบบเดียว และได้มีการให้คำตอบสำหรับการตีความที่ยอมรับแล้ว แต่ยังคงมีปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขที่เีก่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิดอยู่ คำกล่าวของฮิลเบิรตบางคำไม่แม่นยำเพียงพอที่จะระบุปัญหาเฉพาะเจาะจง แต่ชี้แนะเพียงพอที่ปัญหาบางอย่างในะรรมชาติร่วมสมัยดุเหมือนจะสามารถใช้ได้ ตัีวอย่างเช่น นักทฤษฎีจำนวน สมัยใหม่ ส่วนใหญ่ คงจะมองว่าปัญหาที่ 9 อ้างถึงการโต้ตอบของ Langlands เชิงสันนิษฐาน เกี่ยวกัการแสดงของกลุ่มของ Galois สัมบูรณ์ ของฟิลด์จำนวน ปัญหาอื่นๆ เช่น ศควรรษที่ 11 และ 16 เกี่ยวข้องกับสิ่งที่เป็นสาขาย่อยทางคณิตศาสตร์ที่กำลัีงรุ่เรือง เช่น ทฤษฎีของรูปแบบกำลังสองและเส้นโค้งพีชคณิตจริง มีปัญหาสองประการที่ไม่เพียงแต่ยังไม่ได้รับการแก้ไขเท่าน้้น แต่ยังอาจไม่สามารถแก้ไขไ้ตามมาตรฐานสมัยใหม่ด้วย ปัญหาที่ 6 เกี่ยวข้องกับการกำหนดสัจพนน์ของฟิสิกส์ซึ่งเป็นเป้าหมายที่การพัฒนาในศตวรรษที่ 20 ดูเหมือนจะห่างไกลและไม่สำคัญเท่ากับในสมัยของฮิลเบิร์ต นอกจากนี้ ปัญหาที่ 4 ยังเกี่ยวข้องกับรากฐานของเรขาคณิต ซึ่งในปัจจุบันโดยทั่วไปถือว่าคลุมเครือเกินกว่จะให้คำตอบที่ชัดเจนได้

           ฮิลเบิร์ตั้งใจให้ปญหาที่ 23เป็นข้อบ่งชี้ทั่วไปเพื่อเน้นย้ำแคลคูลัสของการปแรผันซึ่งเป็นสาขาที่ไม่ได้รับการชื่นชมและศึกษาอย่างเพียงพอ ในการบรรยายแนะนำปัญหาเหล่านนี้ ฮิลเบิร์ตได้กล่าวแนะนำปัญหาที่ 23 ดังนี้

         " จนถึงขณะนี้ แันได้กล่าวถึงปัญหาต่างๆ อย่างชัดเจนและพิเศษที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ โดยเห็นวา่ปัญหาที่ชัดเจนและพิเศษเท่านั้นที่ดึงดูดเรามากที่สุดและมักมีอิทธิพลต่อวิทยาศาสต์อยา่งยาวนานที่สุด อย่างไรก็ตาม แันอยากจะปิดท้ายด้วยปัญหาทั่วไป นั่นคื อการกล่าวถึงสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่กล่าวถึงซ้ำแล้วซ้ำเล่าในการบรรยายครั้งนี้ซึ่งแม้ว่าไวเออร์สภตราสส์จะพัฒนาไปอย่างมากในช่วงหลังแต่ก็ไม่ได้รับการชื่นชมโดยทั่ยไป ซึ่งในความเห็นของฉัน สมควรได้รับ นั้นคือ แคลคูลัสของการแปรผัน"

 ปัญหาอื่นๆ อีก 21 ข้อได้รับความสนใจอย่างมา และในช่วงปลายศตวรรษที่ 20 งานเกี่ยวกับปัญหานี้ยังคงถือเป็นส่ิงสำคัญที่สุด พอลโดเฮน ได้รับเหรียญฟิลด์สในปี 1966 สำหรับผลวานของเขาในปัญหาแรก และการแด้ปัญหาเชิงลบของปัญหาที่ 10 ในปี 1970 โดยยูริ มาติยาเซวิชผซึ่งทำงานเสร็จสิ้นโดยจูเลีย โรบินสันฮิลารี พัทนัมและมาร์ติน เดวิส) สร้างเสียงชื่นชมที่คล้ายคลึงกัน แง่มุมต่างๆ ของปัญหาเหล่านี้ยังคงเป็นที่สนใจอย่างมากในปัจจุบัน

          จากปัญหาของฮิลเบิร์ตที่จัดทำขึ้นอย่างชัดเจน จำนวน 3,7,10,14,17,18,19และ 20 มีมติที่ได้รับการยอมรับโดยฉันทามติของชุมชนคณิตศาสตร์ ปัญหา 1,2,5,6,9,11,12,15,21 และ 22 มีคำตอบที่ได้รับการยอมรับบางส่วน แต่ยังมีข้อถกเถียงกันอยู่วา่คำตอบเหล่านี้สามารถแก้ปัญหาได้หรือไม่

          นั้นทำให้เหลือ ข้อ 8(สมติฐานของรีมันน์) 13 และ 16 ที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข และ 4 และ 23 นั้คลุมเคลือเกิดกว่าที่จะอธิบายว่าได้รัยการแก้ไขแล้ว 24 ที่ถุกถอนออกจะอยุ่นขั้นนีั้เช่นกัน

            ปัญหาที่ สิบเก้าของฮิลเบิร์ต เป็น 1 ใน 23 ปัญหาของฮิลเบิร์ตซึ่งระบุไว้ในรายการที่รวบรวมโดยเดวิด ฮิลเบิร์ตในปี 1900 โดยตั้งคำถามว่าคำตอบของปัญหาปกติในแคลคูลัสของการแปรผันเป็นเชิงวิเคราะห์ฺ เสมอ ห่รือไม่ อย่างไม่เป็นทางการและอาจไม่ตรงไปตรงไปตรงมา เนื่องจากแนวคิดของฮิลเบิร์ตเกี่ยวกับ "ปัญหาการแปรผันปกติ" ระบุอย่างชัดเจนว่า นี้เป็นปัญาการปแรผันที่มีสมการออยเลอิร์-ลากรองจ์ เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงวงรีที่มีสัมประสิทธิ์เชิงวิเคราะห์ ปัญหาที่สิบเก้าของฮิลเบิร์ต แม้จะดูเหมือนเป็นข้อความทางเทคนิค แต่ก็เพียงแตค่ถามว่าในสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย ประเภทนี้คำตอบใดฟๆ สืบทอดคุณสมบัติที่ค่อนข้างเรียบง่ายและเข้าใจได้ดีของการเป็นฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์ฺจากสมการที่มัีนตอบสนองหรือไม่ ปัญหาที่สิบเก้าของฮิลเิบร์ตได้รับการแห้ไขโดยอิสระในช่วงปลายทศวรรษที่ 1950 โดย เอนนโอ เด จอร์จี นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีผุ้ทำงานเกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยและรากฐานของคณิตศาสตร์็ และ จอห์น ฟอร์บส์ แนช จูเนียร์ 

          แนช ได้แนะนำแนวคิดจำนวนหนึ่ง รวมถึง สมดุลของแนชและวิธีแก้ปัญหาการต่อรองของแนช ซึ่งปัจจุบันถือเป็นศุนย์กลางของทฤษำีเกมและการประยุกต์ใช้ในศาสตร์ต่างๆ ในช่วงทศวรรษปี 1950 แนชได้ค้นพบและพิสูจน์ ทฤษฎีบทฝังตัวของแนช โดยการแก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ยอ่ยไม่เชิงเส้นที่เกิขึ้นในเรขาคณิแบบรัมันน์ งานนี้ซึ่งแนะนำรูปแบบเบื้องต้นของ ทฤษฎี แนช-โมเซอร์ ด้วย ไดรับการยอมรับจากสมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน ด้วยรางวัล Leroy P.Steele Prize สำหรับการมีส่วนสนับสนุนที่สำคัญต่อการวิจัย ในภายหลัง เอ็นนิโอ เค จิออร์จิ และแนชค้นพบชุมผลลัทพ์ด้วยวิธีการแยกกัน ซึ่งปุ้ทางไปสุ่ความเข้าอยางเป็นระบบเกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบวงรีและ พาราโบลา ทฤษฎีบทของ De Giorgi-Nash เกี่ยวกับความเรียบเนียนของตำตอบของสมการดังกล่าวสามารถแก้ปัญหาชข้อที่ 19 ของฮิลเบิร์ตเกี่ยวกับความสม่ำเสมอในแคลคูลัสของการแปรผันซึ่งเป็นปัญหาเปิดที่รู้จักกันดี เมื่อกว่า 60 ปีกอ่น

                https://en.wikipedia.org/wiki/John_Forbes_Nash_Jr.

                https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_nineteenth_problem

               https://en.wikipedia.org/wiki/Ennio_De_Giorgi

               https://en.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert